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Ungleichungen fuer Differentialoperatoren spielen eine fundamentale Rolle in der modernen Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Unter den zahlreichen An- wendungen solcher Ungleichungen, die bei vielen Fragestellungen auftreten und sich durch die Auswahl der Differentialoperatoren und der Randbedingungen, die Anfor- derungen an den Rand des Gebietes und durch die Normen der jeweils betrachteten Funktionenraeume unterscheiden, findet man Existenz- und Eindeutigkeitssaetze, Fehlerabschaetzungen bei der numerischen Approximation von Loesungen und der Restglieder in asymptotischen Formeln sowie Ergebnisse ueber die Struktur des Spek- trums. Fuer allgemeine Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten, die in diesem Buch behandelt werden, sind Abschaetzungen im L fuer Funktionen mit kompaktem 2 Traeger im betrachteten Gebiet (HOEBMANDEB [22]) in erschoepfender Weise studiert worden. Was aber Abschaetzungen bis zum Rand des Gebietes betrifft, so ist dazu noch ueberaus wenig bekannt. Solche Abschaetzungen enthalten die Arbeiten von ABONS- ZAJN[3], AGMON[1] (Koerzivitaet von Differentialoperatoren und Integro-Differenti- operatoren), SCHECHTEB [43], [44], [45] (hinreichende Bedingungen fuer die Dominanz im Halbraum) und einige andere Untersuchungen, ueber die in den Literaturhinweisen zu jedem Kapitel mehr gesagt wird. Gegenstand des vorliegenden Buches sind Abschaetzungen fuer Differentialopera- toren mit konstanten Koeffizienten im Halbraum. Es werden keinerlei A-priori-Einschraenkungen bezueglich des Typs der betrachteten Differentialoperatoren gemacht.