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In diesem Buch wird am Beispiel der ebenen reellen und komplexen projektiven Geometrie und der davon abgeleiteten Cayley-Klein-Geometrien versucht aufzuzeigen, dass das Mathematisieren eine weit ueber das Fachspezifische hinausgehende Bedeutung hat - sowohl in erkenntnistheoretischer Hinsicht als auch in Bezug auf Anwendungen. Ersteres wird durch den anschaulich-synthetischen Zugang, der im Laufe der Darstellung durch den analytischen ergaenzt wird, belegt und durch philosophische und mathematikhistorische Eroerterungen untermauert; letzteres erstreckt sich auch auf wenig bekannte Anwendungen innerhalb der Botanik, Kristallografie, Mechanik und Psychologie. Des weiteren werden bislang kaum bzw. nicht in Buchform dargestellte Themen behandelt wie: Natuerliche Geometrie von J. Hjelmslev, Beweis des Parallelenaxioms nach P. Lorenzen (konstruktive euklidische Geometrie), Imaginaertheorie nach L. Locher-Ernst, Wegkurven und Wegflaechen, Koordinatisierung der Cayley-Klein-Ebenen. Das Buch ist soweit wie moeglich elementar gehalten; nur eine Vertrautheit mit mathematischer Argumentation sowie Grundkenntnisse der euklidischen Geometrie werden vorausgesetzt.